Диференціальні рівняння як складова вивчення математики в педагогічних вищих навчальних закладах

Педагогіка і виховання » Методика навчання диференціальних рівнянь майбутніх вчителів математики в педагогічних університетах » Диференціальні рівняння як складова вивчення математики в педагогічних вищих навчальних закладах

Сторінка 1

Теорія диференціальних рівнянь є одним з найбільших розділів сучасної математики. Щоб охарактеризувати її місце в сучасній математичній науці, перш за все, необхідно підкреслити основні особливості теорії диференціальних рівнянь, математики, що складається з двох областей: теорії звичайних диференціальних рівнянь і теорії рівнянь з частковими похідними.

Перша особливість - це безпосередній зв'язок теорії диференціальних рівнянь з їх широким спектром застосування. Характеризуючи математику як метод проникнення в таємниці природи, можна сказати, що основним шляхом застосування цього методу є формування і вивчення математичних моделей реального світу. Вивчаючи будь-які фізичні явища, дослідник, перш за все, створює його математичну ідеалізацію або, іншими словами, математичну модель, тобто, нехтуючи другорядними характеристиками явища, він записує основні закони в математичній формі. Дуже часто ці закони можна виразити у вигляді диференціальних рівнянь. Такими виявляються моделі різних явищ механіки суцільного середовища, хімічних реакцій, електричних і магнітних явищ і ін.

Досліджуючи отримані диференціальні рівняння разом з додатковими умовами, які, як правило, задаються у вигляді початкових і граничних умов, математик отримує відомості про явище, що відбувається, іноді може дізнатися його минуле і майбутнє. Вивчення математичної моделі математичними методами дозволяє не тільки отримати якісні характеристики фізичних явищ і розрахувати із заданим ступенем точності хід реального процесу, але і дає можливість проникнути в суть фізичних явищ, а іноді передбачити і нові фізичні ефекти. Буває, що сама природа фізичного явища підказує і підходи, і методи математичного дослідження. Критерієм правильності вибору математичної моделі є практика, зіставлення даних математичного дослідження з експериментальними даними.

Для складання математичної моделі у вигляді диференціальних рівнянь потрібно, як правило, знати тільки локальні зв'язки і не потрібна інформація про все фізичне явище в цілому. Математична модель дає можливість вивчати явище в цілому, передбачити його розвиток, робити кількісні оцінки змін, що відбуваються з часом. Нагадаємо, що на основі аналізу диференціальних рівнянь так були відкриті електромагнітні хвилі, і лише після експериментального підтвердження Герцем фактичного існування електромагнітних коливань стало можливим розглядати рівняння Максвела як математичну модель реального фізичного явища.

Як відомо, теорія звичайних диференціальних рівнянь почала розвиватися в XVII столітті одночасно з виникненням диференціального і інтегрального числення. Можна сказати, що необхідність вирішувати диференціальні рівняння для потреб механіки, тобто знаходити траєкторії рухів, в свою чергу, з'явилася поштовхом для створення Ньютоном нового числення. Органічний зв'язок фізичного і математичного ясно виявилася в методі флюксій Ньютона. Закони Ньютона є математичною моделлю механічного руху. Так вдалося вирішити завдання, які протягом довгого часу не піддавалися рішенню. У небесній механіці виявилося можливим не тільки отримати і пояснити вже відомі факти, але і зробити нові відкриття (наприклад, відкриття Льоверье в 1846 році планети Нептун на основі аналізу диференціальних рівнянь).

Звичайні диференціальні рівняння виникають тоді, коли невідома функція залежить лише від однієї незалежної змінної. Співвідношення між незалежною змінною, невідомою функцією і її похідними до деякого порядку складає диференціальне рівняння. В даний час теорія звичайних диференціальних рівнянь є багатою, широко розгалуженою теорією.

Рівняння з частковими похідними почали вивчатися значно пізніше. Потрібно підкреслити, що теорія рівнянь з частковими похідними виникла на основі конкретних фізичних завдань, що приводять до дослідження окремих рівнянь з частковими похідними, які отримали назву основних рівнянь математичної фізики. Вивчення математичних моделей конкретних фізичних завдань привело до створення в середині XVIII століття нової гілки аналізу - рівнянь математичної фізики, яку можна розглядати як науку про математичні моделі фізичних явищ.

Основи цієї науки були закладені працями Д'аламбера, Ейлера, Бернуллі, Лагранжа і інших учених. Цікаве те, що багато хто з них був не тільки математиками, але і астрономами, механіками, фізиками. Розроблені ними при дослідженні конкретних завдань математичної фізики ідеї і методи виявилися застосовними до вивчення широких класів диференціальних рівнянь, що і послужило в кінці XIX століття основою для розвитку загальної теорії диференціальних рівнянь.

Найважливішими рівняннями математичної фізики є: рівняння Лапласа, рівняння теплопровідності, хвилеві рівняння.

Важливо відзначити, що для перевірки правильності математичної моделі дуже важливі теореми існування вирішень відповідних диференціальних рівнянь, оскільки математична модель не завжди адекватна конкретному явищу і з існування рішення реальної задачі (фізичною, хімічною, біологічною) не виходить існування рішення відповідної математичної задачі.

Страницы: 1 2

Це цікаво:

Технологія саморозвитку теорії Монтессорі
Методика Монтессорі є моделлю особистісно орієнтованого підходу до навчання і виховання. В її основі лежить ідея про те, що кожна дитина, з її можливостями, потребами, системою стосунків проходить свій індивідуальний шлях розвитку. В продовж усього життя Марія Монтессорі уважно спостерігала за діть ...

Обґрунтування шляхів удосконалення методики проведення предметних уроків із природознавства в 3 класі
На основі аналізу теоретичних основ досліджуваної проблеми та результатів констатуючого експерименту ми визначили шляхи вдосконалення методики організації та проведення предметних уроків із природознавства в початковій школі. До них належать, зокрема, такі: Попередня підготовка вчителя і учнів до п ...

Мультимедійні технології ознака сучасної вищої освіти
Мультимедіа (у перекладі – багатоваріантне середовище) є новою інформаційною технологією, тобто сукупністю прийомів, методів, способів продукування, обробки, зберігання й передавання аудіовізуальної інформації, заснованої на використанні компакт – дисків (CD - ROM). Це дає змогу поєднати в одному п ...

Інтерактивні уроки

Інтерактивні уроки

На початку ХХІ століття соціокультурний розвиток людства визначив закріплення складної та суперечливої тенденції, що дістала назву глобалізації.

КАТЕГОРІЇ

Copyright © 2018 - All Rights Reserved - www.novapedahohika.com