Диференціальні рівняння як складова вивчення математики в педагогічних вищих навчальних закладах

Педагогіка і виховання » Методика навчання диференціальних рівнянь майбутніх вчителів математики в педагогічних університетах » Диференціальні рівняння як складова вивчення математики в педагогічних вищих навчальних закладах

Сторінка 1

Теорія диференціальних рівнянь є одним з найбільших розділів сучасної математики. Щоб охарактеризувати її місце в сучасній математичній науці, перш за все, необхідно підкреслити основні особливості теорії диференціальних рівнянь, математики, що складається з двох областей: теорії звичайних диференціальних рівнянь і теорії рівнянь з частковими похідними.

Перша особливість - це безпосередній зв'язок теорії диференціальних рівнянь з їх широким спектром застосування. Характеризуючи математику як метод проникнення в таємниці природи, можна сказати, що основним шляхом застосування цього методу є формування і вивчення математичних моделей реального світу. Вивчаючи будь-які фізичні явища, дослідник, перш за все, створює його математичну ідеалізацію або, іншими словами, математичну модель, тобто, нехтуючи другорядними характеристиками явища, він записує основні закони в математичній формі. Дуже часто ці закони можна виразити у вигляді диференціальних рівнянь. Такими виявляються моделі різних явищ механіки суцільного середовища, хімічних реакцій, електричних і магнітних явищ і ін.

Досліджуючи отримані диференціальні рівняння разом з додатковими умовами, які, як правило, задаються у вигляді початкових і граничних умов, математик отримує відомості про явище, що відбувається, іноді може дізнатися його минуле і майбутнє. Вивчення математичної моделі математичними методами дозволяє не тільки отримати якісні характеристики фізичних явищ і розрахувати із заданим ступенем точності хід реального процесу, але і дає можливість проникнути в суть фізичних явищ, а іноді передбачити і нові фізичні ефекти. Буває, що сама природа фізичного явища підказує і підходи, і методи математичного дослідження. Критерієм правильності вибору математичної моделі є практика, зіставлення даних математичного дослідження з експериментальними даними.

Для складання математичної моделі у вигляді диференціальних рівнянь потрібно, як правило, знати тільки локальні зв'язки і не потрібна інформація про все фізичне явище в цілому. Математична модель дає можливість вивчати явище в цілому, передбачити його розвиток, робити кількісні оцінки змін, що відбуваються з часом. Нагадаємо, що на основі аналізу диференціальних рівнянь так були відкриті електромагнітні хвилі, і лише після експериментального підтвердження Герцем фактичного існування електромагнітних коливань стало можливим розглядати рівняння Максвела як математичну модель реального фізичного явища.

Як відомо, теорія звичайних диференціальних рівнянь почала розвиватися в XVII столітті одночасно з виникненням диференціального і інтегрального числення. Можна сказати, що необхідність вирішувати диференціальні рівняння для потреб механіки, тобто знаходити траєкторії рухів, в свою чергу, з'явилася поштовхом для створення Ньютоном нового числення. Органічний зв'язок фізичного і математичного ясно виявилася в методі флюксій Ньютона. Закони Ньютона є математичною моделлю механічного руху. Так вдалося вирішити завдання, які протягом довгого часу не піддавалися рішенню. У небесній механіці виявилося можливим не тільки отримати і пояснити вже відомі факти, але і зробити нові відкриття (наприклад, відкриття Льоверье в 1846 році планети Нептун на основі аналізу диференціальних рівнянь).

Звичайні диференціальні рівняння виникають тоді, коли невідома функція залежить лише від однієї незалежної змінної. Співвідношення між незалежною змінною, невідомою функцією і її похідними до деякого порядку складає диференціальне рівняння. В даний час теорія звичайних диференціальних рівнянь є багатою, широко розгалуженою теорією.

Рівняння з частковими похідними почали вивчатися значно пізніше. Потрібно підкреслити, що теорія рівнянь з частковими похідними виникла на основі конкретних фізичних завдань, що приводять до дослідження окремих рівнянь з частковими похідними, які отримали назву основних рівнянь математичної фізики. Вивчення математичних моделей конкретних фізичних завдань привело до створення в середині XVIII століття нової гілки аналізу - рівнянь математичної фізики, яку можна розглядати як науку про математичні моделі фізичних явищ.

Основи цієї науки були закладені працями Д'аламбера, Ейлера, Бернуллі, Лагранжа і інших учених. Цікаве те, що багато хто з них був не тільки математиками, але і астрономами, механіками, фізиками. Розроблені ними при дослідженні конкретних завдань математичної фізики ідеї і методи виявилися застосовними до вивчення широких класів диференціальних рівнянь, що і послужило в кінці XIX століття основою для розвитку загальної теорії диференціальних рівнянь.

Найважливішими рівняннями математичної фізики є: рівняння Лапласа, рівняння теплопровідності, хвилеві рівняння.

Важливо відзначити, що для перевірки правильності математичної моделі дуже важливі теореми існування вирішень відповідних диференціальних рівнянь, оскільки математична модель не завжди адекватна конкретному явищу і з існування рішення реальної задачі (фізичною, хімічною, біологічною) не виходить існування рішення відповідної математичної задачі.

Страницы: 1 2

Це цікаво:

Течії зарубіжної педагогіки. Їхні методологічні основи
В зарубіжній педагогіці багато різноманітних течій: 1. філософські напрямки: екзистенціалізм, що проповідує вирішальну роль внутрішніх, спонтанних запитів; неотомізм, що пропагує ідеї над розуму і Бога, закликає до виховання духовності; прагматизм, що вважає необхідним засвоєння знань тільки в проц ...

Організаційно-педагогічні умови професійної орієнтації старшокласників на медичні спеціальності
В умовах соціально-економічної трансформації нашого суспільства проблеми професійної орієнтації набувають винятково важливого значення, оскільки їх вирішення спрямоване на свідоме професійне самовизначення молодої людини. Розвиток вищої медичної освіти у контексті європейської інтеграції, високі ви ...

Корекційно-розвивальна програма "Соціалізація дошкільників"
Корекційно-розвивальна програма «Соціалізація дошкільників» допоможе набути дітям соціального досвіду, а саме: почуватись комфортно поруч з іншими, розуміти, любити та вибачати їх, контактувати, висловлювати свою думку, виявляти свою життєву позицію, приходити на допомогу, мати оптимістичний настрі ...

Інтерактивні уроки

Інтерактивні уроки

На початку ХХІ століття соціокультурний розвиток людства визначив закріплення складної та суперечливої тенденції, що дістала назву глобалізації.

КАТЕГОРІЇ

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.novapedahohika.com