Розробка лекцій, практичних робіт, опорних конспектів

Сторінка 5

Приклади задач, які приводять до диференціального рівняння.

Задача 1. Знайти криві, які мають ту властивість, що відрізок дотичної (проведеної в будь-якій її точці), який міститься між осями координат, ділиться точкою дотику навпіл.

Розв’язання. Нехай - довільна точка шуканої кривої (мал. 1).

Тоді . Оскільки , то маємо співвідношення

(2)

Мал. 1. Мал. 2.

яке зв’язує незалежну змінну , шукану функцію і її похідну , тобто дістали звичайне диференціальне рівняння першого порядку. Переписавши (2) у вигляді , а це останнє – у вигляді ,

маємо рівність . Звідси , і, отже,

, (3)

де . Шукані криві (3) є сім'єю гіпербол, для яких осі координат виконають роль асимптот.

Задача 2. Відомо, що швидкість розпаду радію пропорційна наявній його кількості.

Знайти закон, який виражає зміну кількості радію протягом часу, якщо відомо, що через 1600 років залишиться половина кількості радію. Розв’язання. Нехай - кількість радію в момент часу (час у роках). Оскільки швидкість зміни є похідною від за часом , то, згідно з умовою задачі,

. (4)

Тут задача привела до звичайного диференціального рівняння першого порядку.

Переписавши (4) у вигляді . А останнє у вигляді , маємо рівність

, (5)

де - стала.

Нехай у початковий момент кількість радію дорівнює . Підставляючи замість і в (5) відповідно і , дістанемо . Таким чином

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Це цікаво:

Виховання духовно-моральних цінностей у студентів з обмеженими фізичними можливостями
Інтеграція в суспільство осіб з обмеженими можливостями, їх соціальний захист, психолого-педагогічна підтримка є одним із найбільш актуальних і пріоритетних напрямків політики кожної розвиненої країни світу як в освітній, так і в соціальній сфері, оскільки ставлення до людини з інвалідністю багато ...

Експериментальне дослідження щодо удосконалення розвитку мовлення у молодших школярів
Експериментально-дослідницька робота проводилася в гімназії №1 ім.К.Д.Ушинського в м. Сімферополі у двох паралельних класах в період проходження переддипломної практики. Обидва класи поділяються на 2 групи і в кожній групі свій учитель. Тому експеримент був проведений на одній підгрупі з 2-А класу, ...

Особливості українського народного фольклору для розвитку елементарних математичних уявлень в дошкільному віку
Невичерпна криниця народної педагогіки. Народна математика це сукупність народних математичних знань та навичок, в основі якої лежать потреби практичної діяльності (необхідність виконання різних арифметичних дій при проведенні землемірних робіт, зведенні житла та інших споруд тощо). Недоступність п ...

Інтерактивні уроки

Інтерактивні уроки

На початку ХХІ століття соціокультурний розвиток людства визначив закріплення складної та суперечливої тенденції, що дістала назву глобалізації.

КАТЕГОРІЇ

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.novapedahohika.com