Розробка лекцій, практичних робіт, опорних конспектів

Сторінка 5

Приклади задач, які приводять до диференціального рівняння.

Задача 1. Знайти криві, які мають ту властивість, що відрізок дотичної (проведеної в будь-якій її точці), який міститься між осями координат, ділиться точкою дотику навпіл.

Розв’язання. Нехай - довільна точка шуканої кривої (мал. 1).

Тоді . Оскільки , то маємо співвідношення

(2)

Мал. 1. Мал. 2.

яке зв’язує незалежну змінну , шукану функцію і її похідну , тобто дістали звичайне диференціальне рівняння першого порядку. Переписавши (2) у вигляді , а це останнє – у вигляді ,

маємо рівність . Звідси , і, отже,

, (3)

де . Шукані криві (3) є сім'єю гіпербол, для яких осі координат виконають роль асимптот.

Задача 2. Відомо, що швидкість розпаду радію пропорційна наявній його кількості.

Знайти закон, який виражає зміну кількості радію протягом часу, якщо відомо, що через 1600 років залишиться половина кількості радію. Розв’язання. Нехай - кількість радію в момент часу (час у роках). Оскільки швидкість зміни є похідною від за часом , то, згідно з умовою задачі,

. (4)

Тут задача привела до звичайного диференціального рівняння першого порядку.

Переписавши (4) у вигляді . А останнє у вигляді , маємо рівність

, (5)

де - стала.

Нехай у початковий момент кількість радію дорівнює . Підставляючи замість і в (5) відповідно і , дістанемо . Таким чином

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Це цікаво:

Сутність та роль професійного виховання в професійно - технічних навчальних закладах швейного профілю
Успішність діяльності кваліфікованого працівника швейного виробництва в сучасних умовах багато в чому визначається не тільки рівнем знань, володінням технологічними вміннями, які даються працівникові в процесі професійного навчання, але й системою професійного виховання, що зложилося в тому або інш ...

Вплив активних методів навчання на формування позитивної мотивації студентів
Одна з найважливіших проблем дидактики - проблема методів навчання - залишається актуальної як у теоретичному, так і безпосередньо в практичному плані. Залежно від її рішення перебувають сам навчальний процес, діяльність викладача й студентів, а отже, і результат навчання у вищій школі в цілому. Те ...

Сімейний обов'язок
Об'єктивна система «сім'я — суспільство» характеризується складними взаємозв'язками, і найперший з них — взаємні обов'язки сім'ї і суспільства. Поняття «обов'язок» відображає в нашій свідомості об'єктивну необхідність, виражену в моральних вимогах, що ставляться як до окремого індивіда, так і до гр ...

Інтерактивні уроки

Інтерактивні уроки

На початку ХХІ століття соціокультурний розвиток людства визначив закріплення складної та суперечливої тенденції, що дістала назву глобалізації.

КАТЕГОРІЇ

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.novapedahohika.com