Розробка лекцій, практичних робіт, опорних конспектів

Сторінка 5

Приклади задач, які приводять до диференціального рівняння.

Задача 1. Знайти криві, які мають ту властивість, що відрізок дотичної (проведеної в будь-якій її точці), який міститься між осями координат, ділиться точкою дотику навпіл.

Розв’язання. Нехай - довільна точка шуканої кривої (мал. 1).

Тоді . Оскільки , то маємо співвідношення

(2)

Мал. 1. Мал. 2.

яке зв’язує незалежну змінну , шукану функцію і її похідну , тобто дістали звичайне диференціальне рівняння першого порядку. Переписавши (2) у вигляді , а це останнє – у вигляді ,

маємо рівність . Звідси , і, отже,

, (3)

де . Шукані криві (3) є сім'єю гіпербол, для яких осі координат виконають роль асимптот.

Задача 2. Відомо, що швидкість розпаду радію пропорційна наявній його кількості.

Знайти закон, який виражає зміну кількості радію протягом часу, якщо відомо, що через 1600 років залишиться половина кількості радію. Розв’язання. Нехай - кількість радію в момент часу (час у роках). Оскільки швидкість зміни є похідною від за часом , то, згідно з умовою задачі,

. (4)

Тут задача привела до звичайного диференціального рівняння першого порядку.

Переписавши (4) у вигляді . А останнє у вигляді , маємо рівність

, (5)

де - стала.

Нехай у початковий момент кількість радію дорівнює . Підставляючи замість і в (5) відповідно і , дістанемо . Таким чином

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Це цікаво:

Трактування поняття «дидактична гра» в психолого-педагогічній літературі
Сьогодні єдиного погляду на визначення поняття “дидактична гра” у педагогічній літературі неіснує. Цей термін має різні тлумачення в працях окремих дослідників. Проблемам гри приділяли значну увагу мислителі і педагоги як минулого, так і сучасного: Платон, Арістотель, Рабле, Я.А. Коменський, Д. Лок ...

Структурні складові гри
Дитяча гра - один з основних видів діяльності дітей, спрямованої на практичне пізнання навколишніх предметів і явищ через відтворення дій та взаємні дорослих. За своїм змістом ігри органічно пов'язані з життям, працею і поведінкою дорослих членів суспільства. Сюжети ігор дуже різноманітні й відобра ...

Структура модульної системи навчання
Перший етап. На ньому визначається зміст навчання по будь-якій професії й з окремими її складовими. Його можна назвати проектуванням змісту модульного навчання. Створення змісту – це послідовна деталізація даних конкретної професії працівника, починаючи з його функціональних зобов'язань і до окреми ...

Інтерактивні уроки

Інтерактивні уроки

На початку ХХІ століття соціокультурний розвиток людства визначив закріплення складної та суперечливої тенденції, що дістала назву глобалізації.

КАТЕГОРІЇ

Copyright © 2021 - All Rights Reserved - www.novapedahohika.com