Розробка лекцій, практичних робіт, опорних конспектів

Сторінка 5

Приклади задач, які приводять до диференціального рівняння.

Задача 1. Знайти криві, які мають ту властивість, що відрізок дотичної (проведеної в будь-якій її точці), який міститься між осями координат, ділиться точкою дотику навпіл.

Розв’язання. Нехай - довільна точка шуканої кривої (мал. 1).

Тоді . Оскільки , то маємо співвідношення

(2)

Мал. 1. Мал. 2.

яке зв’язує незалежну змінну , шукану функцію і її похідну , тобто дістали звичайне диференціальне рівняння першого порядку. Переписавши (2) у вигляді , а це останнє – у вигляді ,

маємо рівність . Звідси , і, отже,

, (3)

де . Шукані криві (3) є сім'єю гіпербол, для яких осі координат виконають роль асимптот.

Задача 2. Відомо, що швидкість розпаду радію пропорційна наявній його кількості.

Знайти закон, який виражає зміну кількості радію протягом часу, якщо відомо, що через 1600 років залишиться половина кількості радію. Розв’язання. Нехай - кількість радію в момент часу (час у роках). Оскільки швидкість зміни є похідною від за часом , то, згідно з умовою задачі,

. (4)

Тут задача привела до звичайного диференціального рівняння першого порядку.

Переписавши (4) у вигляді . А останнє у вигляді , маємо рівність

, (5)

де - стала.

Нехай у початковий момент кількість радію дорівнює . Підставляючи замість і в (5) відповідно і , дістанемо . Таким чином

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Це цікаво:

Методика навчання вправ з стрибків
Завданням навчання в дитячому садку є оволодіння навичкою відштовхування нагору, необхідною для багатьох вправ і ознайомлення зі стрибком у висоту з прямого розбігу й у довжину з розбігу «зігнувши ноги». Для вирішення цієї загальної задачі варто навчити концентрації зусиль у відштовхуванні, викорис ...

Експериментальна перевірка
Розвиток логіко- алгоритмічного мислення у молодших школярів на уроках математики. З досвіду роботи вчителя початкових класів МОУ «Сош№22» м. Балаково Васиной Тетяни Петрівни. У концепції модернізації освіти пріоритетною метою покликана та, що розвиває. Розглядаючи розвиваючі можливості математики, ...

Образотворчі можливості видів і жанрів образотворчого мистецтва
Предмет "Образотворче мистецтво" реалізує змістову лінію візуального мистецтва. При цьому головні завдання викладання образотворчого мистецтва у початкових класах такі: 1. Формування в дітей художньо-естетичного ставлення до дійсності, здатності до неутилітарного, художнього пізнання світ ...

Інтерактивні уроки

Інтерактивні уроки

На початку ХХІ століття соціокультурний розвиток людства визначив закріплення складної та суперечливої тенденції, що дістала назву глобалізації.

КАТЕГОРІЇ

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.novapedahohika.com