Розробка лекцій, практичних робіт, опорних конспектів

Приклади задач, які приводять до диференціального рівняння.

Задача 1. Знайти криві, які мають ту властивість, що відрізок дотичної (проведеної в будь-якій її точці), який міститься між осями координат, ділиться точкою дотику навпіл.

Розв’язання. Нехай - довільна точка шуканої кривої (мал. 1).

Тоді . Оскільки , то маємо співвідношення

(2)

Мал. 1. Мал. 2.

яке зв’язує незалежну змінну , шукану функцію і її похідну , тобто дістали звичайне диференціальне рівняння першого порядку. Переписавши (2) у вигляді , а це останнє – у вигляді ,

маємо рівність . Звідси , і, отже,

, (3)

де . Шукані криві (3) є сім'єю гіпербол, для яких осі координат виконають роль асимптот.

Задача 2. Відомо, що швидкість розпаду радію пропорційна наявній його кількості.

Знайти закон, який виражає зміну кількості радію протягом часу, якщо відомо, що через 1600 років залишиться половина кількості радію. Розв’язання. Нехай - кількість радію в момент часу (час у роках). Оскільки швидкість зміни є похідною від за часом , то, згідно з умовою задачі,

. (4)

Тут задача привела до звичайного диференціального рівняння першого порядку.

Переписавши (4) у вигляді . А останнє у вигляді , маємо рівність

, (5)

де - стала.

Нехай у початковий момент кількість радію дорівнює . Підставляючи замість і в (5) відповідно і , дістанемо . Таким чином

Це цікаво:

Роль мотивації учнів у початковому навчанні
Мотив є формою прояву потреби людини (мотив фр. - спонукальна причина, привід до дії). Це - спонукання до діяльності, відповідь на те, заради чого вона відбувається (див. схему, додаток А). Мотиви спрямовують, організовують пізнання, надають йому особистісного значення. Мотиви, які безпосередньо не ...

Програма розвитку виховної системи СОМУ на 2007-2011рр
Мета виховної діяльності: Створення сприятливих умов для розвитку і вдосконалення творчої, етичної, діяльної, здорової особи, що має здібності до успішної соціалізації у суспільстві і активній адаптації на ринку праці. Актуальність і доцільність Програми: Створення виховного простору, у якому студе ...

Експериментальне впровадження мультимедійних технологій у навчальний процес ХДАФК
Питанням методології та методики педагогічних досліджень присвячені роботи В.П. Безпалько, Н.В. Кузьміної й інших дослідників. Під педагогічним дослідженням розуміється процес і результат наукової діяльності, спрямований на отримання нових знань про теорію та методику організації навчально-виховног ...