Розробка лекцій, практичних робіт, опорних конспектів

Сторінка 5

Приклади задач, які приводять до диференціального рівняння.

Задача 1. Знайти криві, які мають ту властивість, що відрізок дотичної (проведеної в будь-якій її точці), який міститься між осями координат, ділиться точкою дотику навпіл.

Розв’язання. Нехай - довільна точка шуканої кривої (мал. 1).

Тоді . Оскільки , то маємо співвідношення

(2)

Мал. 1. Мал. 2.

яке зв’язує незалежну змінну , шукану функцію і її похідну , тобто дістали звичайне диференціальне рівняння першого порядку. Переписавши (2) у вигляді , а це останнє – у вигляді ,

маємо рівність . Звідси , і, отже,

, (3)

де . Шукані криві (3) є сім'єю гіпербол, для яких осі координат виконають роль асимптот.

Задача 2. Відомо, що швидкість розпаду радію пропорційна наявній його кількості.

Знайти закон, який виражає зміну кількості радію протягом часу, якщо відомо, що через 1600 років залишиться половина кількості радію. Розв’язання. Нехай - кількість радію в момент часу (час у роках). Оскільки швидкість зміни є похідною від за часом , то, згідно з умовою задачі,

. (4)

Тут задача привела до звичайного диференціального рівняння першого порядку.

Переписавши (4) у вигляді . А останнє у вигляді , маємо рівність

, (5)

де - стала.

Нехай у початковий момент кількість радію дорівнює . Підставляючи замість і в (5) відповідно і , дістанемо . Таким чином

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Це цікаво:

Визначення рівня розвитку пізнавальних здібностей школярів до вивчення історії
Індивідуальні особливості пізнавальних процесів, вікові зміни і цілеспрямоване досягнення результатів навчання яскраво діагностують спеціальні історичні диктанти, які можна проводити на початку і наприкінці навчального року. Для них підбираються оригінальні тексті: з історії досліджуваної країни (п ...

Профорієнтаційна робота
Завершальним етапом психологічної та практичної підготовки учнів до трудової діяльності є їх правильна професійна орієнтація. Професійна орієнтація – система організації та проведення навчально-виховної роботи, спрямованої на засвоєння учнями необхідних знань про соціально-економічні й психофізіоло ...

Теоретичні основи вивчення диференціальних рівнянь
Навчальна програма вивчення курсу «Диференціальні рівняння» для студентів фізико-математичного факультету вищих навчальних педагогічних закладів I. Загальні відомості Дисципліна «Диференціальні рівняння» є однією з основних дисциплін циклу природничо-наукової (фундаментальної) підготовки студентів. ...

Інтерактивні уроки

Інтерактивні уроки

На початку ХХІ століття соціокультурний розвиток людства визначив закріплення складної та суперечливої тенденції, що дістала назву глобалізації.

КАТЕГОРІЇ

Copyright © 2020 - All Rights Reserved - www.novapedahohika.com