Розробка лекцій, практичних робіт, опорних конспектів

Сторінка 5

Приклади задач, які приводять до диференціального рівняння.

Задача 1. Знайти криві, які мають ту властивість, що відрізок дотичної (проведеної в будь-якій її точці), який міститься між осями координат, ділиться точкою дотику навпіл.

Розв’язання. Нехай - довільна точка шуканої кривої (мал. 1).

Тоді . Оскільки , то маємо співвідношення

(2)

Мал. 1. Мал. 2.

яке зв’язує незалежну змінну , шукану функцію і її похідну , тобто дістали звичайне диференціальне рівняння першого порядку. Переписавши (2) у вигляді , а це останнє – у вигляді ,

маємо рівність . Звідси , і, отже,

, (3)

де . Шукані криві (3) є сім'єю гіпербол, для яких осі координат виконають роль асимптот.

Задача 2. Відомо, що швидкість розпаду радію пропорційна наявній його кількості.

Знайти закон, який виражає зміну кількості радію протягом часу, якщо відомо, що через 1600 років залишиться половина кількості радію. Розв’язання. Нехай - кількість радію в момент часу (час у роках). Оскільки швидкість зміни є похідною від за часом , то, згідно з умовою задачі,

. (4)

Тут задача привела до звичайного диференціального рівняння першого порядку.

Переписавши (4) у вигляді . А останнє у вигляді , маємо рівність

, (5)

де - стала.

Нехай у початковий момент кількість радію дорівнює . Підставляючи замість і в (5) відповідно і , дістанемо . Таким чином

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Це цікаво:

Теоретичні аспекти проблеми
Більшість досліджень із розвитку дитячої творчості, в якій би галузі вони не проводилися, спрямовані на встановлення зв’язку між творчими процесами, розвитком інтелектуальних здібностей і мовленням. Проблема розвитку уяви і творчості у вітчизняній науці досліджувалася у зв’язку з розвитком творчих ...

Подання таблиць
Цифровий матеріал, коли його багато або є необхідність у зіставленні певних показників, як правило, оформлюють у таблиці. Таблиця являє собою такий спосіб подання інформації, при якому цифровий або текстовий матеріал групується в рядки і графи, відокремленні одна від іншої вертикальними та горизонт ...

Організація та зміст навчально-виховного процесу в навчальних відділеннях
Основним принципом при визначенні змісту роботи в різних навчальних відділеннях є диференційований підхід до навчально-виховного процесу. Його суть полягає в тому, що навчальний матеріал формується для кожного навчального відділення з урахуванням статі, рівня фізичного розвитку, фізичної і спортивн ...

Інтерактивні уроки

Інтерактивні уроки

На початку ХХІ століття соціокультурний розвиток людства визначив закріплення складної та суперечливої тенденції, що дістала назву глобалізації.

КАТЕГОРІЇ

Copyright © 2020 - All Rights Reserved - www.novapedahohika.com