Розробка лекцій, практичних робіт, опорних конспектів

Сторінка 5

Приклади задач, які приводять до диференціального рівняння.

Задача 1. Знайти криві, які мають ту властивість, що відрізок дотичної (проведеної в будь-якій її точці), який міститься між осями координат, ділиться точкою дотику навпіл.

Розв’язання. Нехай - довільна точка шуканої кривої (мал. 1).

Тоді . Оскільки , то маємо співвідношення

(2)

Мал. 1. Мал. 2.

яке зв’язує незалежну змінну , шукану функцію і її похідну , тобто дістали звичайне диференціальне рівняння першого порядку. Переписавши (2) у вигляді , а це останнє – у вигляді ,

маємо рівність . Звідси , і, отже,

, (3)

де . Шукані криві (3) є сім'єю гіпербол, для яких осі координат виконають роль асимптот.

Задача 2. Відомо, що швидкість розпаду радію пропорційна наявній його кількості.

Знайти закон, який виражає зміну кількості радію протягом часу, якщо відомо, що через 1600 років залишиться половина кількості радію. Розв’язання. Нехай - кількість радію в момент часу (час у роках). Оскільки швидкість зміни є похідною від за часом , то, згідно з умовою задачі,

. (4)

Тут задача привела до звичайного диференціального рівняння першого порядку.

Переписавши (4) у вигляді . А останнє у вигляді , маємо рівність

, (5)

де - стала.

Нехай у початковий момент кількість радію дорівнює . Підставляючи замість і в (5) відповідно і , дістанемо . Таким чином

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Це цікаво:

Основні поняття з розвитку мовлення
Робота з розвитку мовлення молодших школярів включає такі основні напрямки: удосконалення звуковимови учнів і підвищення їхньої вимовної культури; збагачення, уточнення й активізація словникового запасу молодших школярів, уміння вживати слова у властивому для них значенню, користуватися виражальним ...

Планування професійного виховання в професійно-технічних навчальних заставах швейного профілю в Україні
Планування - підготовчий етап кожного управлінського циклу, тому йому приділяється одне з важливих місць у системі управління процесом виховання . В Україні в період з 1970 - по 1990 роки система планування виховною й освітньою роботою в ПТНЗ була жорстко централізованої, регламентувалася різними д ...

Види контролю, вимоги
За місцем у навчальному процесі розрізняють попередній, поточний, періодичний, підсумковий види контролю. Попередній контроль – перед вивченням нової теми або на початку уроку, семестру для з'ясування загального рівня підготовки учнів з предмета, щоб намітити організацію їх навчально-пізнавальної д ...

Інтерактивні уроки

Інтерактивні уроки

На початку ХХІ століття соціокультурний розвиток людства визначив закріплення складної та суперечливої тенденції, що дістала назву глобалізації.

КАТЕГОРІЇ

Copyright © 2018 - All Rights Reserved - www.novapedahohika.com