Розробка лекцій, практичних робіт, опорних конспектів

Сторінка 5

Приклади задач, які приводять до диференціального рівняння.

Задача 1. Знайти криві, які мають ту властивість, що відрізок дотичної (проведеної в будь-якій її точці), який міститься між осями координат, ділиться точкою дотику навпіл.

Розв’язання. Нехай - довільна точка шуканої кривої (мал. 1).

Тоді . Оскільки , то маємо співвідношення

(2)

Мал. 1. Мал. 2.

яке зв’язує незалежну змінну , шукану функцію і її похідну , тобто дістали звичайне диференціальне рівняння першого порядку. Переписавши (2) у вигляді , а це останнє – у вигляді ,

маємо рівність . Звідси , і, отже,

, (3)

де . Шукані криві (3) є сім'єю гіпербол, для яких осі координат виконають роль асимптот.

Задача 2. Відомо, що швидкість розпаду радію пропорційна наявній його кількості.

Знайти закон, який виражає зміну кількості радію протягом часу, якщо відомо, що через 1600 років залишиться половина кількості радію. Розв’язання. Нехай - кількість радію в момент часу (час у роках). Оскільки швидкість зміни є похідною від за часом , то, згідно з умовою задачі,

. (4)

Тут задача привела до звичайного диференціального рівняння першого порядку.

Переписавши (4) у вигляді . А останнє у вигляді , маємо рівність

, (5)

де - стала.

Нехай у початковий момент кількість радію дорівнює . Підставляючи замість і в (5) відповідно і , дістанемо . Таким чином

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Це цікаво:

Ефективність формування національної свідомості учнів початкових класів
Одним із завдань експериментальної роботи було підвищення активності дітей у процесі оволодіння цінностями народного календаря. Із цією метою ми орієнтували їх на підготовку доповідей, присвячених особливостям конкретних свят. Саме підготовка доповідей, їх обговорення в школі сприяли свідомому став ...

Експериментальна перевірка ефективності реалізації модульно-рейтингової системи в навчальному процесі
Визначальний (констатуючий) експеримент проводиться з метою виявлення поточного (загального) стану навчально-виховного процесу або певного педагогічного явища та стану їх структурних елементів як на початку дослідження, так і наприкінці - до та після формувального (формуючого) експерименту. Може бу ...

Життєвий і творчий шлях
Велика народна вчителька, яка все життя віддала справі народної освіти, народилася 4 (6) квітня 1841 р. в Борзі – повітовому містечку Чернігівської губернії в сім’ї поміщиків. Батько – Д.Л. Журавльов, викладач міського училища, мати – дочка героя Вітчизняної війни 1812 р. генерала Вуїча. Д.Л. Журав ...

Інтерактивні уроки

Інтерактивні уроки

На початку ХХІ століття соціокультурний розвиток людства визначив закріплення складної та суперечливої тенденції, що дістала назву глобалізації.

КАТЕГОРІЇ

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.novapedahohika.com