Розробка лекцій, практичних робіт, опорних конспектів

Сторінка 5

Приклади задач, які приводять до диференціального рівняння.

Задача 1. Знайти криві, які мають ту властивість, що відрізок дотичної (проведеної в будь-якій її точці), який міститься між осями координат, ділиться точкою дотику навпіл.

Розв’язання. Нехай - довільна точка шуканої кривої (мал. 1).

Тоді . Оскільки , то маємо співвідношення

(2)

Мал. 1. Мал. 2.

яке зв’язує незалежну змінну , шукану функцію і її похідну , тобто дістали звичайне диференціальне рівняння першого порядку. Переписавши (2) у вигляді , а це останнє – у вигляді ,

маємо рівність . Звідси , і, отже,

, (3)

де . Шукані криві (3) є сім'єю гіпербол, для яких осі координат виконають роль асимптот.

Задача 2. Відомо, що швидкість розпаду радію пропорційна наявній його кількості.

Знайти закон, який виражає зміну кількості радію протягом часу, якщо відомо, що через 1600 років залишиться половина кількості радію. Розв’язання. Нехай - кількість радію в момент часу (час у роках). Оскільки швидкість зміни є похідною від за часом , то, згідно з умовою задачі,

. (4)

Тут задача привела до звичайного диференціального рівняння першого порядку.

Переписавши (4) у вигляді . А останнє у вигляді , маємо рівність

, (5)

де - стала.

Нехай у початковий момент кількість радію дорівнює . Підставляючи замість і в (5) відповідно і , дістанемо . Таким чином

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Це цікаво:

Життєвий шлях М. Монтессорі і розвиток її педагогічної системи
Марія Монтессорі народилася 1870 р. неподалік портового міста Анкона, що на Адріатиці, в сім’ї військового. Батьки її були глибоко релігійними людьми, неухильно дотримувалися католицьких правил і звичаїв. У такому дусі виховували і свою єдину дочку. Шістнадцятилітньою вона вступила до Технічної шко ...

Кредити ЕСТS і кредитно-модульна система
Запровадження кредитної системи, подібної до ECTS, є одним з ключових питань Болонського процесу. Зауважимо, що кредитна система, як система виміру навчального навантаження, та кредитно-модульна система організації навчального процесу – зовсім не синоніми. Якщо кредитно-модульна система організації ...

Науковий аналіз педагогічного випадку, ситуації, конфлікту, що стався у ЗОШ та ВНЗ
Метою цієї роботи є проаналізувати педагогічні конфлікти, ситуації та випадки, що трапилися у ЗОШ та ВНЗ. Перед тим, як почати сам аналіз, хотілося б подати визначення цих понять. Терміни «конфлікт», «ситуація», «випадок» не є суто педагогічними. Їх використовують різні науки, надаючи їм певного за ...

Інтерактивні уроки

Інтерактивні уроки

На початку ХХІ століття соціокультурний розвиток людства визначив закріплення складної та суперечливої тенденції, що дістала назву глобалізації.

КАТЕГОРІЇ

Copyright © 2020 - All Rights Reserved - www.novapedahohika.com