Розробка лекцій, практичних робіт, опорних конспектів

Сторінка 5

Приклади задач, які приводять до диференціального рівняння.

Задача 1. Знайти криві, які мають ту властивість, що відрізок дотичної (проведеної в будь-якій її точці), який міститься між осями координат, ділиться точкою дотику навпіл.

Розв’язання. Нехай - довільна точка шуканої кривої (мал. 1).

Тоді . Оскільки , то маємо співвідношення

(2)

Мал. 1. Мал. 2.

яке зв’язує незалежну змінну , шукану функцію і її похідну , тобто дістали звичайне диференціальне рівняння першого порядку. Переписавши (2) у вигляді , а це останнє – у вигляді ,

маємо рівність . Звідси , і, отже,

, (3)

де . Шукані криві (3) є сім'єю гіпербол, для яких осі координат виконають роль асимптот.

Задача 2. Відомо, що швидкість розпаду радію пропорційна наявній його кількості.

Знайти закон, який виражає зміну кількості радію протягом часу, якщо відомо, що через 1600 років залишиться половина кількості радію. Розв’язання. Нехай - кількість радію в момент часу (час у роках). Оскільки швидкість зміни є похідною від за часом , то, згідно з умовою задачі,

. (4)

Тут задача привела до звичайного диференціального рівняння першого порядку.

Переписавши (4) у вигляді . А останнє у вигляді , маємо рівність

, (5)

де - стала.

Нехай у початковий момент кількість радію дорівнює . Підставляючи замість і в (5) відповідно і , дістанемо . Таким чином

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Це цікаво:

Використання гри та ігрових ситуацій на уроках читання
Сучасна освіта орієнтується на особистість, на розвиток кожної дитини, залежно від її розумових здібностей І фізичного стану. І перед нами постає питання: як зробити урок не тільки продуктивним і результативним, а й цікавим. Таким, що запалить животрепетну іскорку допитливості в очах дитини, збереж ...

Права дитини
Діти також мають права. Їм необхідні права для життя, повноцінного фізичного та психічного розвитку, формування особистості. Кожна держава повинна проявити особливу турботу про дитину , яка проходить період формування особистості, пізнає саму себе і навколишній світ. Адже сьогоднішнім дітям, які ст ...

Дидактика як педагогічна теорія навчання
Поняття про дидактику Дидактика – це дисципліна, яка досліджує навчання на теоретичному рівні. Вважається, що цей термін запровадив німецький педагог В.Ратне (1571-1635) для позначення мистецтва навчання. Аналогічно трактував дидактику в видатний чесько-польський педагог Ян Амос Коменський, який у ...

Інтерактивні уроки

Інтерактивні уроки

На початку ХХІ століття соціокультурний розвиток людства визначив закріплення складної та суперечливої тенденції, що дістала назву глобалізації.

КАТЕГОРІЇ

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.novapedahohika.com