Розробка лекцій, практичних робіт, опорних конспектів

Сторінка 8

Геометричний зміст теореми полягає в тому, що існує і притім єдина функція , графік якої проходить через точку .

Означення 2. Умова, що при функція у повинна дорівнюватися заданому числу , називається початковою умовою, або умовою Коші. Вона записується у вигляді

або .

Означення 3. Задача, у якій потрібно знайти частинний розв'язок рівняння , який задовольняє початковій умові , називається задачею Коші.

Означення 4. Загальним розв'язком диференціального рівняння першого порядку називається функція

яка залежить від однієї довільної сталої С і задовольняє наступним умовам:

а) вона задовольняє диференціальному рівнянню при будь-якому конкретному значенні сталої С;

б) яка б не була початкова умова при , тобто , можна знайти таке значення , що функція задовольняє даній початковій умові. При цьому передбачається, що значення і належать до тієї області зміни змінних х і у, у якій виконуються умови теореми існування й одиничності розв'язку.

У процесі знаходження загального розв'язку диференціального рівняння ми приходимо до співвідношення вигляду

не розв'язаному відносно у. Розв'язавши це співвідношення відносно у, одержуємо загальний розв'язок. Однак не завжди удається виразити у в елементарних функціях; у таких випадках загальний розв'язок залишається в неявному вигляді.

Означення 5. Рівність вигляду , яка неявно задає загальний розв'язок, називається загальним інтегралом диференціального рівняння.

Означення 6. Частинним розв'язком називається будь-яка функція , яка утворюється з загального розв'язку , якщо в останньому довільної сталої С придати визначене значення . Співвідношення називається в цьому випадку частинним інтегралом рівняння.

З геометричної точки зору загальний інтеграл являє собою сімейство кривих на координатній площині, яке залежить від однієї довільної сталої С. Ці криві називаються інтегральними кривими даного диференціального рівняння. Частинному інтегралу відповідає одна крива цього сімейства, яка проходить через деяку задану точку площини.

Страницы: 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Це цікаво:

Літні календарно-обрядові пісні
У травні доцільно ознайомити учнів з літніми календарними звичаями, обрядами й піснями. — Ми з вами, діти, вже знаємо, що в давні часи люди дуже любили природу. Дівчатам найбільше подобалася берізка, а, як на вашу думку, чому? (Учитель показує малюнок берізки.) — Тому що вона дуже красива, ніжна. — ...

Аналіз наркоситуації й основних показників розвитку фізичної культури та спорту в Донецькому регіоні
Результати нашого дослідження, означеної проблеми дозволяють сформулювати загальний висновок про те, що за останні десятиліття Донецька область вступила в смугу гострої демографічної кризи, що характеризується прискоренням природного зменшення населення, низькою середньою тривалістю життя, значним ...

Поширеність розладів психоемоційного стану першокурсників
Найбільш загальне розуміння психоемоційного стану, який виникає у нових незвичних умовах, передбачає формування психологічних механізмів, завдяки яким особа забезпечує свою безпеку і адекватну орієнтацію в новій ситуації. При успішній адаптації особистість отримує можливість максимально успішної са ...

Інтерактивні уроки

Інтерактивні уроки

На початку ХХІ століття соціокультурний розвиток людства визначив закріплення складної та суперечливої тенденції, що дістала назву глобалізації.

КАТЕГОРІЇ

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.novapedahohika.com