Розробка лекцій, практичних робіт, опорних конспектів

Вирішити або проінтегрувати диференціальне рівняння - значить:

а) знайти його загальний розв'язок або загальний інтеграл (якщо початкові умови не задані) або

б) знайти той частинний розв'язок рівняння, який задовольняє заданим початковим умовам (якщо такі є).

Означення 7. Особливим розв'язком називається такий розв'язок, у всіх точках якого умова одиничності не виконується, тобто в будь-якому околі кожної точки особливого розв'язку існують принаймні дві інтегральні криві, які проходять через цю точку.

Особливі розв'язки не утворюються з загального розв'язку диференціального рівняння ні при яких значеннях довільної сталої С (у тому числі і при ).

2. Диференціальні рівняння із відокремлюючими змінними

Означення 8. Диференціальне рівняння типу

називають рівнянням із відокремлюючими змінними, тому що в цьому рівнянні змінні відокремлені, тобто при знаходиться тільки функція від х, а при - тільки функція від у.

Інтегруючи обидві частини цього рівняння, одержимо співвідношення, яке зв'язує розв'язок у, незалежну змінну х і довільну сталу С, тобто одержимо загальний інтеграл рівняння

.

Приклад. Знайти загальний розв'язок рівняння

Розв'язок. , ,

.

3. Диференціальні рівняння із змінними, які відокремлюються.

Означення 9. Диференціальні рівняння, у яких змінні можна відокремити за допомогою множення або ділення обох частин рівняння на той самий вираз, називаються диференціальними рівняннями із змінними, які відокремлюються.

Це рівняння виду

.

Воно може бути приведене до рівняння із відокремленими змінними шляхом ділення обох його частин на вираз :

, або

.

Приклад. Знайти загальний розв'язок рівняння

.

Розв'язок. Відокремлюючи змінні, знаходимо:

,

Інтегруючи, отримаємо: або .

Останнє співвідношення є загальний інтеграл даного рівняння.

Приклад. Розв'язати задачу Коші

, .

Це цікаво:

Пошук шляхів вдосконалення системи формування екологічної культури молодших школярів
Щоб розглянути педагогічну проблему з різних сторін, ми зробили не лише теоретичний аналіз історичного та передового педагогічного досвіду екологічного виховання, а й узагальнили практику роботи вчителів сучасної початкової школи. Ці ж прийоми роботи ми пропонуємо використовувати на уроках та в поз ...

Розвиток спеціальної витривалості гімнаста
Спеціальна витривалість знаходить своє вираження в «застосовності»: 1) до загальних особливостям гімнастичної рухової діяльності; 2) до особливостей діяльності на видах багатоборства. Головна особливість полягає в необхідності здійснювати важко координаційну різнохарактерну роботу з численними пере ...

Динаміка показників тривожності за період дослідження
Нерідко вживанням наркотиків підліток прагне погасити стан тривожності, позбутися надмірного контролю, сором'язливості, але перебороти цей стан може допомогти унікальна властивість спорту – задоволення природного прагнення молодої людини до експериментування, пошуку нових, незвичайних відчуттів і п ...